信号分析与处理笔记
主线：如何求解方程
两类方程的求解问题
- 连续信号，微分方程
- 工数下中解常系数微分方程的解法，通解＋特解的形式（时域分析）
- 傅里叶变换（频域分析）
- 拉式变换（复频域分析）
- 离散信号，差分方程
- 数列通项的求解方法（时域分析）
- 离散傅里叶变换（频域分析）
- z变换（复频域分析）
引入的数学工具：卷积
引入的分析思想：（复）频域分析
提出一个问题：
这样变换分析域的做法感觉在理工科的很多学科都涉及到了，比如物理中量子力学的薛定谔方程也用到不少。且有意思的是成不确定关系的恰好是能互相进行傅里叶变化的一对量，这中间有什么深意吗？还待查阅资料思考。
1.信号分析与处理的基本概念
- 系统的性质
- 线性
- 时变
- 稳定 输入有界则输出有界；可进行傅里叶变换
- 因果
- 记忆
- 可逆（一一映射才可逆）
2.连续时间信号及系统的时域分析
解微分方程
3.离散时间信号及系统的时域分析
解差分方程
4.连续时间信号及系统的频域分析
\(sgn(t)=\begin{cases}\quad1,&t>0\\\:-1,&t<0\end{cases} \\u(t)=\begin{cases}\quad1,&t>0\\\quad0,&t<0\end{cases}\\ 但是求导的结论计算u(t)的傅里叶变换时，只能用sgn(t)推导 \\\frac{du(t)}{dt}=\delta(t)=\frac{1}{2}\frac{dsgn(t)}{dt}\\\) 这里由于我们在数学知识上的缺乏，不能得出直接用u(t)使用变换对求导的结论不能合理的应用。来看下面这个用极限的推导来得出u(t)的傅里叶变换 
5.离散时间信号及系统的频域分析
6.连续时间信号及系统的复频域分析
6.1拉普拉斯变换
x(t)乘上衰减因子，使绝对可积。 \(\lim_{t\to\pm\infty}x(t)e^{-\sigma t}=0\tag{6-1}\) 满足了Dirichlet条件，应用傅里叶变换，拉普拉斯变换对如下 \(X_\beta(s)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}dt\\x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} X(s)e^{st}dt\\ x(t)\leftrightarrow X_\beta(s)\)
需要注意到，σ并非任意的，因此有收敛域的要求，确定收敛域的式子为(6-1)，同时也可以通过X(s)的奇点确定 \(\sigma_左<Re\{s\}<\sigma_右\) 可见若左大于右，则拉氏变换可能不存在，因此演变出单边拉氏变换，将积分下限改写为0-，再提供初始条件，这样就不需要在-∞处有限了 \(X(s)=\int_{0_-}^{\infty} x(t)e^{-st}dt\\ x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} X(s)e^{st}dt\\x(t)\leftrightarrow X(s)\)
6.2拉普拉斯变换的性质
6.2.2时/频移性质
6.2.3时/频域微分性质
时域微分性质，很重要，用于求解全响应 \(已知：x(t)\leftrightarrow X(s)\\ \frac{dx(t)}{dt}\leftrightarrow sX(s)-x(0_-)\\ 推广：x^{(n)}\leftrightarrow s^nX(s)-s^{n-1}x(0_-)-...-x^{n-1}(0_-)\\\)
频域微分性质 \(-tx(t)\leftrightarrow\frac{dX(s)}{ds}\)
6.3求拉氏反变换
- 利用变换的性质（时频移，微分积分，伸缩等）
- 有理分式
- 留数定理
信号与系统（19）-连续时间系统的复频域分析：拉普拉斯反变换之留数法_留数法求拉普拉斯逆变换-CSDN博客
复变函数（5）——留数计算实积分 - 知乎 (zhihu.com)