电路分析基础笔记
前言
五一前两天没有出去玩，就整理了一下电分的笔记，以供期末复习之用，也希望对有相关复习需求的同学有所帮助。没想到写着写着变成瞎逼逼了。
本笔记重点包含：
- 各种概念和定义
- 一些思考和总结
- 一定的拓展和联想
- 一些我认为重要的题的分析
不包括：
- 大量的公式总结
- 我认为没必要的例题分析
提前列出参考文献：
- 老师上课的PPT（我们老师讲得蛮好的，但不妨碍我经常翘课hh）
- 李瀚荪《电路分析基础（第五版）》（相比起BIT编的很多答辩教材比如大学计算机、蓝色的那本线代、C语言教程等，这本书显得编写质量好得突出）
可见这篇笔记写的还是较为主观，主要目标在于对电分课程的总结，希望对这门课程学有所获，而不是单纯为了应付考试（当然该拿的分还是得拿）。
免责声明：可能有错，如果影响考试成绩，后果自负。
0.概述
这部分是想讲一讲电分学习的主线框架和学习的感受，部分源自李瀚荪老师的《电路分析基础》的前言部分。
电分电分，顾名思义就是给你一个电路要会分析。不学电分就不会分析了吗？当然不是，只要学了物理电磁学部分的电路就好。KL＋VCR列出方程解决所有问题，如果物理学得再好一点，甚至对于非集总参数的情况也可以很好的列方程计算，Maxwell方程组可以从理论上解决所有问题。但是有这个必要吗？解决小问题用高深的理论是没有必要的，在工程实践中出现的情况能解决就行了，没有必要搞额外的东西，毕竟科学是科学，工程是工程。研究的不是普适情况，是几种实际应用情况，而且是怎么能在要求的精度下快速得到想要的结果。所以，电分从数学角度来看是教你如何快速解方程，从物理角度来看是在教分解和等效的思想。
总之，KL+VCR列方程是主线，其它杂七杂八我记都记不住的各种定理涉及到的思想也无非分解和等效，只要清楚这点后应该知道，不用担心列不出方程，只应该担心怎么算简单，以及不要算错了，这就是电分主要解决的问题。 至于考试，需要记住各种定义与概念，并且计算不出错，分大概是不会低的。
***
1.电阻电路的分析
1.1涉及的概念和定理总览
| 名称 | 定义 | 备注 | | ————– | ——————————————————————- | ——————————————————————————————————– | | 集总参数模型 | 实际电路尺寸远小于波长时，用“集总参数元件” 来构成电路中的元器件模型 | 每一种集总参数元件只反应一种基本电磁现象，如电阻是电能的损耗，电感只与磁现象有关，电容只与电场相关 | | 参考方向 | 人为指定的电流方向 | 不一定和真实方向相同，同正反负 | | 参考极性 | 人为指定的电压极性方向 | 同上 | | 关联参考方向 | 电流与电降假设参考方向一致 | 乘机为功率，正则消耗电路的能量，负则对电路提供功率 | | 支路 | 每一个二段元件视为一条支路 | 这样定义是比较合理的，比以纯数学的角度先定义节点再定义支路要好（因为这样节点的定义就是单纯的点了一个点） | | 节点 | 支路的连接点 | 注意相连的等势点为同一个节点 | | 回路 | 电路中的任一闭合路径 | 无 | | 网孔 | 回路内部不另含有支路的回路 | 注意网孔的概念只适用于平面电路，立体电路（平面上不使任意两条支路交叉的电路）中不存在这种概念 | | 电阻元件 | u,i之间存在代数关系 | 所谓的代数关系指无积分，微分的那种（无记忆），有线性和非线性，时变和时不变 | | 电压源，电流源 | 提供电压、电流 | 对应实体，如发电机和光电池，合称为激励源 | | 受控源 | 顾名思义 | 非激励源，只是一种四端元件，使输出端受输入端控制 | | 网络函数 | 对单一激励的线性、时不变电路，指定的响应对激励之比 | 分为策动点（响应与激励在同一端）函数和转移（不同端）函数 | | 端口 | 满足端口约束的端钮 | 端口约束：流入一个端钮的电流必须等于流出另一个端钮的电流 |
1.2网孔分析法与节点分析法
这个没什么特别好说的，其实是对所列的完备的方程组的一种简化求解的方法：减少方程数，只求自己想要的量而不是全部。 KL描述的电场的能量守恒（电压）和物质守恒（电流），VCR负责描述能量的转化（对电路的响应），然后列出方程求解。方程的完备性的论证从物理上来说描述了全部的物理现象应该是完备的，从数学上来说，可以给出以下证明：
- 设有n个节点，b条支路，m个网孔（仅讨论平面电路）。则需要求出的所有量为2b个电压，电流;
- 有b个VCR方程;
- m与n,b的关系：首先将n个节点逐次连接为一个环，则此时已有n个支路，一个网孔；以后，每多一条支路则多一个网孔；设总支路数为b，多的支路数为b-n，则多的网孔数=多的支路数，加之之前的一个，则总网孔数为b-n+1（平面图无交叉情况，其次，总可以将任意复杂无交叉的图形视作逐次连接为一个网孔的图形然后再随意连接);
- m个独立KVL方程；
- n-1个独立KCL方程；
- 独立方程总数与待求物理量相等； 证毕。
网孔分析和节点分析比起列全部方程的优点在于想要求解的非全部物理量时可以列出更少的方程，更高效的求解问题。数学本质上是对方程组进行线性变换，变换成另一个2b方程组，其中只有1b个方程组包含待求量。
对于具体的列方程的法则这里不想赘述（没错我认为不如理解本质重要），但有以下几点提醒：
- 方向问题，统一正方向；
- 自阻（导）为正，互阻（导）为负；
- 弄明白正负的含义和关系
一些另外的内容：对偶性，建模的两种方法（物理分析建模和黑箱建模）
1.3分解，叠加，等效
1.3.1叠加原理
1.定义： 由线性电阻、线性受控源及独立源组成的电路中，每一元件的电流或电压可以看成是每一个独立源单独作用于电路时，在该元件上产生的电流或电压的代数和。
2.注意事项： ·一般来说，功率不服从叠加原理 ·对于受控源来说，它只是表达一个比例约束关系，不能算作独立电源，故计算每一个独立电源时都要注意这个约束关系一直存在
·一般来说与网络函数放在一起综合应用
1.3.2分解方法及单、双口网络
叠加方法是将复杂激励转化为简单的单一的激励，分解方法是将复杂电路转化结构相对简单的电路（分而解之）
1.单口网络的置换：置换定理 定义：若网络N由两个单口网络N1,N2连接组成，且已知端口电压和电流值为α和β，则N2（N1）可以用一个电压为α的电压源置换或电流为β的电流源置换，不影响N1(N2)的内部各支路的电压电流值。 2.戴维南定理与诺顿定理（可由置换定理证明）
2.1需要注意的概念 输出电阻：从输出端看进去的电阻（所以戴维南电阻可以称为输出电阻）
3.互易双口，对称双口 好像没啥用的东西，考试也不考，我就懒得整理了
2.动态电路的时域分析
2.1电容元件和电感元件
懂的都懂，提醒一下是记忆元件，储能元件，无源元件
2.2一阶电路
用几阶微分方程描述就是几阶电路
2.2.1零状态响应
顾名思义是指有源状态下，但电容或电感初状态量为零； 各个激励可叠加，呈线性；
2.2.1.1阶跃响应 冲激响应
引入单位阶跃函数 ，记为 $\varepsilon(t)$，其定义为 \(\varepsilon(t) = \begin{cases} \ 0 &t<0 \\ \ 1 &t>0 \\ \end{cases}\)
由比例性和时不变性，可以将分段常量信号分解为一系列阶跃信号之和，响应也是分别的响应再相叠加； 把$\varepsilon(t)$的导数定义为单位冲激函数，即
\(\delta(t)=\frac{\mathrm{d} \varepsilon(t)}{\mathrm{d} x}\)对所有$t\ne0$,有$\delta(t)=0$.以及\(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\mathrm{d}t=1\)
有选择性质，即$f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)$. 线性，时不变的冲激响应是它的阶跃响应的导数。求冲激响应，一般是先求阶跃响应，再求导（根据定义的函数规则）。此时电流（或电压）不为有界的，这个函数的提出相当于解决了强制突变的问题。
2.2.2零输入响应
如果把零输入看成是零状态响应，把初始状态看成是电容串联了一个电压源，电感并联了一个电流源，则与零状态响应是一样的。 零输入响应线性。
2.2.3线性动态电路的叠加原理
全响应=零状态＋零输入； 需要注意的是零状态和零输入分别满足线性叠加原理，但全响应不满足，原因是零输入重复计算了。
2.2.4三要素法
初始值，稳态值，$\tau$,只要确定了这三个值，就能立即写出相应的解析式。
\(y(t)=y(\infty)+[y(0_+)-y(\infty）]e^{-\frac{t}{\tau}}\)
2.2.5瞬态和稳态
全响应=稳态响应+瞬态响应
对应上式的第一项和第二项，又称稳态响应分量（强制响应分量），和瞬态响应分量（固有或自由响应分量）
2.3二阶电路
2.3.1LC电路中的正弦振荡
没话说
2.3.2RLC串联电路的零输入响应
解关于电容上的电压的二阶微分方程，分为欠阻尼，临界阻尼，过阻尼三种情况； $R<2\sqrt{\frac{L}{C}}$ ，欠阻尼，会产生振荡； $R=2\sqrt{\frac{L}{C}}$ ，临界阻尼，以最快速度达到平衡位置； $R>2\sqrt{\frac{L}{C}}$ ，过阻尼，一般会超过平衡位置；
2.3.3RLC串联电路的零状态响应和全响应
没有意思的分法，我的评价是不如直接解方程
2.3.4GCL并联电路的分析
解关于流过电感上的电流的二阶微分方程，定义阻尼电导，
$G_d=2\sqrt{\frac{C}{L}}$
$G>G_d$，过阻尼（非振荡性）； $G=G_d$，临界阻尼（非振荡性）；
$G<G_d$，欠阻尼（衰减振荡）；
$G=0$，无阻尼（即开路，等幅振荡）。 老实说，我觉得这个地方的叫法很奇怪，电导为电阻的倒数，叫阻尼不太对劲。但是一来当时第一个研究的人可能就是这么叫的，二来可以等效的理解为电阻越大，电流越不往这边走，对电感上电流的阻碍作用就小了，姑且这么解释吧。
3.动态电路的向量分析法和s域分析法
3.1交流动态电路 相量法
3.1.1正弦激励的过渡过程和稳态
没啥好说的，在t较大后就是正弦稳态响应了，研究的是这部分
3.1.2相量法
没啥好说的嘞，用复数计算正余弦很常用的数学技巧，在物理中的电磁学中也经常用 。
引入相量后，基尔霍夫定律仍然适用，网孔法和节点法同。
3.1.3阻抗和导纳
阻抗：把元件在正弦稳态时电压相量与电流相量之比定义为该元件的阻抗。
导纳：阻抗的倒数。
将电感和电容的阻抗称为电抗。
3.1.4有效值 有效值相量
提醒：所有表测的均为有效值
3.1.5相量图法
顾名思义，画图解题，对较简单的电路比较快
3.2正弦稳态功率和能量 三相电路
3.2.1一些定义
1.视在功率：$S=UI$，即$\frac{1}{2}U_mI_m$ ， 反映设备的容量； 2.功率因数 ：$\lambda=\frac{P}{S}=cos\varphi$ ，一般再加上感性（滞后，$\lambda>0$），容性（超前，$\lambda<0$），超前和滞后均指电流超前/滞后电压； 3.平均功率：一个周期内的输出功率。计算方式很多，可计算所有电阻上的总功率、电压×电流×功率因数、电压×电流的共轭复数、电压的平方×导纳实部、电流的平方×阻抗实部等
3.2.2单口网络的无功功率
把瞬时功率的振幅定义为电容/感的无功功率。
$Q=2\omega(W_L-W_C)$表征在网络内部电场和磁场的能量可进行交换，与外电路往返的能量为其差值。
$S=\sqrt{P^2+Q^2}=I^2Im[Z]=-U^2Im[Y]$
#### 3.2.3复功率守恒
$\tilde{S}=\tilde{U}\tilde{I}^=P+jQ$
#### 3.2.3正弦稳态最大功率传递定理
获得最大平均功率的条件为：\(R_L=R_s,Z_L=Z_s^*\)
这个结论的数学证明就是写公式求导，这里不详细叙述了。但这个结论是显然的，因为要让无功功率为零，再让平均功率被最大分配。 ### 3.3频率响应 多频正弦稳态电路
*这部分主要是叠加方法在多频正弦稳态响应中的应用 应当注意的是相量分析法的使用条件是：线性、时不变、渐近稳定电路
#### 3.3.1分析方法
将信号拆成简谐的和直流的(通用方法，傅里叶展开)，分别求响应，再叠加；
比较显然的是电流和电压的叠加是不同频率作平方和开根号，因为不同频率叠加对时间的平均交叉项为0，功率就直接等于功率之和。 #### 3.3.2谐振电路
##### 3.3.2.1RLC电路的谐振
1.品质因数 $Q=\frac{\omega_0L}{R}$，定义为谐振是电容/感上电压与电源电压之比
2.通频带$BW=\omega_2-\omega_1=\frac{R}{L}=\frac{\omega_0}{Q}$，定义为半功率点的频率差。显然，Q越大，BW越窄，成反比，且有$\omega=\sqrt{\omega_1\omega_2}$。
参看知乎中有人写的关于品质因数的定义，写得很好 电路中品质因数的定义
### 3.4耦合电感和理想变压器
#### 3.4.1基本概念
同名端与异名端：判断方向，首先确定自感系数正负，当u与i取关联参考方向时，自感电压取正号，否则取负号；其次看施感电流方向，若电流都从两个电感的同名端进入，则互感系数与自感系数同正负，反之则异号；
其实我个人认为最好的方法还是看标的点，将电流以致写作标点的进入方向判断 #### 3.4.2耦合电感的VCR 耦合系数
可以证明$M_{max}=\sqrt{L_1L_2}$
耦合系数$k=\frac{M}{M_{max}}$
若串联，$L=L_1+L_2+-2M$
#### 3.4.3空心变压器电路的分析 反映阻抗
变压器是常用的器件，一般有一次线圈和二次线圈，一次接电源，二次接负载。用耦合电感来构成变压器的电路模型。 $Z_i=Z{11}+\frac{\omega^2M^2}{Z_{22}}$，对一次线圈来说正反接一样，二次线圈直接算就行，注意方向
#### 3.4.4耦合电感的去耦等效电路
实际上就是等效接一个电感来代替互感效应
#### 3.4.5理想变压器
1.VCR性质： 关联方向 $u_2=nu_1,i_2=-\frac{1}{n}i_1$;
2.等效阻抗
$Z_i(j\omega)=\frac{1}{n^2}Z_L(j\omega)$
3.理想变压器的实现
可以看成是两电感系统的某特殊情况，$L_1,L_2$无穷大且比值为$\frac{n_1^2}{n_2^2}$
4.铁芯变压器模型
不想写推导过程这些，其实这些所谓的模型都是多多往上叠参数，实际的分析方法还是一样的
3.5拉普拉斯变换在电路分析中的应用
这部分是数学上解非齐次，线性，常系数微分方程通解的一种方法。当遇到复杂电路时，可以采取这种变换方法，在复数域求解后再变换回来，一般工程应用时直接查表。
4.瞎逼逼，我在偶尔听课＋大部分自学完电分后的感受
其实电分当中很多概念与物理中的比较相似，如果强行只以电分中的知识解释会很拉杂，完全可以一部分用物理的解释，更方便理解。可以想到编书的人是想要让学生“零基础”学电分，但是这就缺乏理工科融汇贯通的效果了。
5.考前总结一下易错点以及应试注意事项
1.注意方向！！！ （升降压方向，互感和变压器方向） 2.求$R_0$时先考虑去掉电源用串并联公式算，再考虑外施电流/压和$\frac{U_{oc}}{I_{sc}}$
3.注意Q和BW的定义，谐振的关系 4.并联谐振相当于开路；并联谐振各分量有电流；串联谐振相当于短路；串联谐振各分量有电压； 5.最容易错的是交流电，谐振，电动机部分！！
放一道题来感受一下分析方法
这道题也说明了怎么分析电动机。认为是有功功率是不会变的，如何看待这一点可以认为是从发电上看不变，输入能量不变，或者直接的，认为输入电压不变（即忽略掉导线上的分压），电动机上的电流是不变的。同时，想要提高功率因数，途径是并联电容，使总电流变小，在输电线上的损耗也会变小，无功功率也变小。不能串联电容，因为虽然电路感性，但是串联电容其容抗会很大，使电动机无法工作。（因为虽然把电动机想成电阻串联电感，觉得在电阻上的功率会变大，但这种等效只能从外部看，内部分配电流可能根本不是这样，会使电动机短路）
提醒！！在交流电中，等效计算后一段短路或断路与直流电不同，支路可能都有电流，只是和为零，因为是复数/相量
5.放一道我认为见过的最巧妙的一道题，戴维南与置换定理的绝妙结合