现代数学基础-学习笔记

引子

一些重要的数学思想

• “数学，至少是纯数学，是研究抽象结构的理论”（以集合论为出发点，系统运用Hilbert公理化思想）
• 数学结构：由遵从一些公理的集合和映射所组成的系统
• 四种结构：代数结构、拓扑结构、序结构、测度结构

结构名称	结构原型	结构的内容
序结构	数的大小次序	偏序、全序
代数结构	算术运算	群、环、线性空间、线性代数等
拓扑结构	距离、邻域	距离空间、拓扑空间等
测度结构	长度、面积、体积等	测度空间、测度论等

1.集合与映射

1.1 集合与映射的基本概念

1.1.1 集合的定义

传统定义：具有某种可描述的特征的元素的全体称为集合（问题：所有集合的“集合”，罗素的理发师悖论 $X = \lbrace A \mid A \notin A \rbrace$ ） 现代集合论把“类、成员、相等”作为不加定义的原始术语，给出定义：

• 定义1.1.1 ：类A称为集合，当且仅当存在类B使得A是B的成员，不是集合的类称为本性类。

1.1.2 基本集合记号说明

1. $x\in A,\ x\notin A$
   • $x\in A$：$x$ 属于集合 $A$，$x$ 是集合 $A$ 的元素。
   • $x\notin A$：$x$ 不属于集合 $A$，$x$ 不是集合 $A$ 的元素。
2. $A\subset B,\ A\subseteq B$
   • $A\subseteq B$：$A$ 是 $B$ 的子集，$A$ 的任意元素都属于 $B$，允许 $A=B$。
   • $A\subset B$：$A$ 是 $B$ 的真子集，满足 $A\subseteq B$ 且 $A\neq B$。
3. $\varnothing,\ 2^A,\ P(A)$
   • $\varnothing$：空集，不含任何元素的集合。
   • $P(A)$（也记作 $\mathcal P(A)$）：集合 $A$ 的幂集，由 $A$ 的全部子集构成的集合。
   • $2^A$：幂集的等价记号；若 $\lvert A\rvert=n$，则幂集元素个数为 $2^n$。
4. $\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$
   • $\mathbb N$：自然数集 ${0,1,2,\dots}$
   • $\mathbb Z$：整数集 ${\dots,-2,-1,0,1,2,\dots}$
   • $\mathbb Q$：有理数集，所有形如 $\dfrac{p}{q}\;(p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N^*)$ 的数
   • $\mathbb R$：实数集
   • $\mathbb C$：复数集
5. $C[a,b],\ P[a,b],\ C^m[a,b]$（函数空间记号）
   • $C[a,b]$：闭区间 $[a,b]$ 上全体连续函数构成的空间。
   • $P[a,b]$：闭区间 $[a,b]$ 上全体多项式构成的空间。
   • $C^m[a,b]$：闭区间 $[a,b]$ 上具有直到 $m$ 阶连续导数的函数构成的空间。

1.1.3 集合的运算

1.1.4 映射的定义

• 单射
• 满射
• 双射/一一映射 （既双射又满射）

1.2 集合的对等

• 集合的势
• 可列集合
• 不可列集合

1.3 实数的紧致性理论

1.3.1 确界的概念

1.3.2 确界存在公理

1.3.3 实数集合的列紧性

1.3.4 $C[a,b]$的基本性质

• 收敛（也是点点收敛）
• 一致收敛

2. 代数系统与群论初步

2.1 群与子群

2.1.1 代数运算

2.1.2 群与半群